Конечно, давайте разберемся с каждым из ваших вопросов по порядку.
1) Сколько следует задать вопросов и как их следует формулировать, чтобы количественно оценить сообщение о том, что вагон стоит на одном из 16 путей?
Чтобы определить, на каком из 16 путей стоит вагон, можно использовать метод бинарного поиска. Этот метод позволяет минимизировать количество вопросов, необходимых для получения ответа. Поскольку 16 равно (2^4), вам потребуется задать 4 вопроса, чтобы однозначно определить путь.
Пример вопросов:
- Вопрос 1: "Находится ли вагон на одном из первых 8 путей?"
- Вопрос 2: "Находится ли вагон на одном из первых 4 путей?" (в зависимости от ответа на первый вопрос)
- Вопрос 3: "Находится ли вагон на одном из первых 2 путей?" (в зависимости от ответа на второй вопрос)
- Вопрос 4: "Стоит ли вагон на первом пути?" (в зависимости от ответа на третий вопрос)
Каждый вопрос делит количество оставшихся путей пополам, что и позволяет сократить количество вопросов до минимально необходимого.
2) Вы бросаете два кубика с нанесенными на гранях цифрами от 1 до 6. Определите, сколько битов информации несет сообщение о том, что на одном кубике выпала тройка, а на другом — пятерка.
При броске двух шестигранных кубиков возможны 36 различных комбинаций (6 на первом кубике умножить на 6 на втором). Сообщение, что на одном кубике выпала тройка, а на другом пятерка, соответствует двум различным событиям:
- На первом кубике тройка, на втором пятерка.
- На первом кубике пятерка, на втором тройка.
Это значит, что у нас 2 подходящих случая из 36 возможных. Вероятность события составляет ( \frac{2}{36} = \frac{1}{18} ).
Информацию в битах можно вычислить по формуле:
[
I = -\log_2(P)
]
где ( P ) — вероятность события. Подставляем:
[
I = -\log_2\left(\frac{1}{18}\right) = \log_2(18) \approx 4.17 \text{ бит}
]
3) Предположим, вероятность того, что вы получите за контрольную работу оценку "5", равна 0,6; вероятность получения "4" равна 0,3; вероятность получения "3" — 0,1. Определите, сколько битов информации будет нести сообщение о результатах контрольной работы в каждом из вариантов.
Для вычисления информации о каждом варианте используем ту же формулу:
[
I = -\log_2(P)
]
Для оценки "5" (( P = 0.6 )):
[
I_5 = -\log_2(0.6) \approx 0.737 \text{ бит}
]
Для оценки "4" (( P = 0.3 )):
[
I_4 = -\log_2(0.3) \approx 1.737 \text{ бит}
]
Для оценки "3" (( P = 0.1 )):
[
I_3 = -\log_2(0.1) \approx 3.322 \text{ бит}
]
Таким образом, сообщения о результатах контрольной работы несут разное количество информации в зависимости от вероятности получения той или иной оценки.
