1) Запись числа 256 в системе счисления с основание N содержит 3 цифры и оканчивается на 4. Чему равно...

1) Для того чтобы число 256 содержало 3 цифры и оканчивалось на 4 в системе счисления с основанием N, необходимо выполнение следующего условия: N^2

1. Запись числа 256 в системе счисления с основанием ( N ) содержит 3 цифры и оканчивается на 4. Чему равно минимальное возможное основание системы счисления?

Для начала, представим число 256 в виде: [ 256 = aN^2 + bN + c ] где ( a, b, c ) — цифры в системе счисления с основанием ( N ), причём ( c = 4 ).

Так как число оканчивается на 4, это можно записать как: [ 256 \equiv 4 \pmod{N} ]

Теперь определим минимальное основание ( N ), при котором 256 в записи имеет 3 цифры: [ aN^2 + bN + 4 = 256 ]

Для минимального основания:

1. ( a ) должно быть как можно меньше, причём ( a \neq 0 ) (иначе это будет не 3 цифры).
2. ( a = 1 ) — минимально возможное значение.

Тогда уравнение принимает вид: [ N^2 + bN + 4 = 256 ] [ N^2 + bN = 252 ]

Так как ( N ) минимально возможное:

1. Подберём ( N ) так, чтобы уравнение решалось.
2. ( N = 16 ), тогда: [ 16^2 + b \cdot 16 = 252 ] [ 256 + b \cdot 16 = 252 ] [ b \cdot 16 = -4 ] Поскольку ( b ) должно быть целым числом, отрицательное значение невозможно. Посмотрим другое значение, например ( N = 15 ): [ 15^2 + b \cdot 15 = 252 ] [ 225 + b \cdot 15 = 252 ] [ b \cdot 15 = 27 ] [ b = 1.8 ]

Таким образом, ( N = 16 ) — минимальное возможное основание системы счисления.

1. 100 (в 7 системе счисления) + x = 230 (в 5 системе счисления)

Сначала переведём 100 из 7-ичной системы в десятичную: [ 1007 = 1 \cdot 7^2 + 0 \cdot 7^1 + 0 \cdot 7^0 = 49{10} ]

Теперь переведём 230 из 5-ичной системы в десятичную: [ 2305 = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 2 \cdot 25 + 3 \cdot 5 = 50 + 15 = 65{10} ]

Теперь решим уравнение: [ 49 + x = 65 ] [ x = 16 ]

1. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5. Определить основание системы счисления.

Обозначим основание системы счисления через ( N ).

Для числа 56: [ 56 \equiv 5 \pmod{N} ] [ 56 = kN + 5 ]

Для числа 124: [ 124 \equiv 5 \pmod{N} ] [ 124 = mN + 5 ]

Получаем два уравнения: [ 56 = kN + 5 ] [ 124 = mN + 5 ]

Вычтем одно из другого: [ 124 - 56 = (mN + 5) - (kN + 5) ] [ 68 = (m - k)N ]

Рассмотрим делители числа 68: [ 68 = 2^2 \cdot 17 ] Делители: 1, 2, 4, 17, 34, 68.

Наименьшее основание ( N ), при котором числа 56 и 124 заканчиваются на 5, это ( N = 4 ).

1. Сколько единиц в двоичной записи числа ( 8^{1014} - 2^{530} - 12 )

Сначала упростим выражение. Заметим, что ( 8 = 2^3 ), тогда: [ 8^{1014} = (2^3)^{1014} = 2^{3042} ]

Теперь имеем: [ 2^{3042} - 2^{530} - 12 ]

Рассмотрим двоичные представления:

• ( 2^{3042} ) — это 1, следующая за которой идут 3042 нулей.
• ( 2^{530} ) — это 1, следующая за которой идут 530 нулей.
• ( 12 = 1100_2 ).

Тогда: [ 2^{3042} - 2^{530} - 12 ]

Вычитаем поразрядно:

• ( 2^{3042} ) имеет 1 на позиции 3042 и 0 на всех остальных.
• ( 2^{530} ) имеет 1 на позиции 530 и 0 на всех остальных.
• ( 12 ) имеет 1 на позициях 3 и 2, и 0 на остальных.

После вычитания: Количество единиц в двоичной записи числа ( 2^{3042} - 2^{530} - 12 ) будет равно числу единиц в каждом числе. [ 2^{3042} ] — 1 единица. [ 2^{530} ] — 1 единица. [ 12 ] — 2 единицы.

Итого: ( 1 + 1 + 2 = 4 ) единицы.