100 пкт. Запись числа 281 в системе счисления с основанием n содержит 3 цифры и оканчивается на 1. чему...

Для нахождения максимально возможного основания системы счисления, в которой число 281 содержит 3 цифры и оканчивается на 1, можно использовать следующий метод:

Пусть основание системы счисления равно n. Тогда число 281 можно записать в виде уравнения: 2n^2 + 8n + 1 = 281

Решив это уравнение, мы получим, что n может быть равно 10. Это означает, что максимально возможное основание системы счисления, в которой число 281 содержит 3 цифры и оканчивается на 1, равно 10.

Для нахождения минимального натурального числа, удовлетворяющего условиям записи числа в системах счисления с основанием 3 и 5, заканчивающегося на 0, можно рассмотреть следующие числа:

Самое маленькое число, которое заканчивается на 0 в системе счисления с основанием 3 - это число 10, которое в десятичной системе равно 3. Следующее число, заканчивающееся на 0 в системе счисления с основанием 5 - это число 10, которое в десятичной системе равно 5.

Таким образом, минимальное натуральное число, удовлетворяющее условиям, является числом 10, которое в десятичной системе равно 5.

Давайте рассмотрим оба вопроса по порядку.

Вопрос 1: Запись числа 281 в системе счисления с основанием n содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Для того чтобы решить этот вопрос, мы должны представить число 281 в системе счисления с основанием ( n ) в виде ( a_2a_1a_0 ), где ( a_2, a_1 ) и ( a_0 ) — это цифры числа в новой системе счисления. Поскольку запись содержит 3 цифры и оканчивается на 1, мы можем записать это так:

[ 281 = a_2 \cdot n^2 + a_1 \cdot n + 1 ]

Поскольку ( a_2, a_1 ) и ( a_0 ) — это цифры, они должны быть меньше основания ( n ). Так как число оканчивается на 1, ( a_0 = 1 ).

Преобразуем уравнение:

[ 281 = a_2 \cdot n^2 + a_1 \cdot n + 1 ]

Теперь вычтем 1 с обеих сторон:

[ 280 = a_2 \cdot n^2 + a_1 \cdot n ]

Для того чтобы запись содержала 3 цифры, ( n^2 ) должно быть меньше 281, но ( n^2 \cdot a_2 ) и ( n \cdot a_1 ) должны быть достаточно большими, чтобы сумма оставалась в пределах 280. Мы также знаем, что ( a_2 ) и ( a_1 ) должны быть меньше ( n ).

Пусть ( a_2 = 1 ), тогда у нас получится:

[ 280 = n^2 + a_1 \cdot n ]

Теперь найдём максимально возможное ( n ), которое удовлетворяет этому уравнению. Подставим значения ( n ) и проверим:

Для ( n = 16 ):

[ 280 = 16^2 + a_1 \cdot 16 ] [ 280 = 256 + a_1 \cdot 16 ] [ 280 - 256 = a_1 \cdot 16 ] [ 24 = a_1 \cdot 16 ] [ a_1 = 1.5 ] (не натуральное число)

Для ( n = 15 ):

[ 280 = 15^2 + a_1 \cdot 15 ] [ 280 = 225 + a_1 \cdot 15 ] [ 280 - 225 = a_1 \cdot 15 ] [ 55 = a_1 \cdot 15 ] [ a_1 = 3.67 ] (не натуральное число)

Для ( n = 14 ):

[ 280 = 14^2 + a_1 \cdot 14 ] [ 280 = 196 + a_1 \cdot 14 ] [ 280 - 196 = a_1 \cdot 14 ] [ 84 = a_1 \cdot 14 ] [ a_1 = 6 ] (натуральное число)

Следовательно, максимальное основание ( n = 14 ).

Вопрос 2: Запись натурального числа в системах счисления с основанием 3 и 5 заканчивается на 0. Найдите минимальное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям.

В системах счисления с основаниями 3 и 5 запись числа заканчивается на 0, если оно делится на 3 и 5 соответственно. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть кратно наименьшему общему кратному этих чисел.

Находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 5:

[ \text{НОК}(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15 ]

Таким образом, минимальное натуральное число, которое заканчивается на 0 в системах счисления с основаниями 3 и 5, равно 15.

Ответы на вопросы:

1. Максимально возможное основание системы счисления, при котором запись числа 281 содержит 3 цифры и оканчивается на 1, равно 14.
2. Минимальное натуральное число, которое заканчивается на 0 в системах счисления с основаниями 3 и 5, равно 15.