Доказать, не ( не А или не В) равносильно А и В

Для доказательства того, что выражение (\neg (\neg A \lor \neg B)) равносильно выражению (A \land B), можно использовать законы логики, в частности, законы Де Моргана и двойного отрицания.

1. Использование законов Де Моргана: Законы Де Моргана гласят, что:

   • (\neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B)
   • (\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B)

   Применим второй закон Де Моргана к выражению (\neg (\neg A \lor \neg B)): [ \neg (\neg A \lor \neg B) = \neg \neg A \land \neg \neg B ]

2. Применение закона двойного отрицания: Закон двойного отрицания утверждает, что отрицание отрицания какого-либо высказывания эквивалентно самому высказыванию:

   • (\neg \neg A = A)
   • (\neg \neg B = B)

   Таким образом, применим этот закон к полученному выше выражению: [ \neg \neg A \land \neg \neg B = A \land B ]

Итак, мы показали, что: [ \neg (\neg A \lor \neg B) = A \land B ]

Таким образом, выражение (\neg (\neg A \lor \neg B)) действительно равносильно выражению (A \land B). Это доказывает, что данные логические выражения эквивалентны.

Доказать, что не (не А или не В) равносильно А и В можно с помощью законов де Моргана.

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся законами де Моргана.

По закону де Моргана отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний: ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B

Теперь давайте рассмотрим утверждение "не (не A или не B)". Если применим закон двойного отрицания, то получим: ¬(¬A ∨ ¬B)

Снова используем закон де Моргана для дизъюнкции отрицаний: ¬¬A ∧ ¬¬B

По закону двойного отрицания, ¬¬A эквивалентно A и ¬¬B эквивалентно B, поэтому: A ∧ B

Таким образом, доказано, что "не (не A или не B)" равносильно утверждению "A и B".