Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди....

Чтобы определить, какой из игроков выигрывает при безошибочной игре, необходимо проанализировать игру, начиная с начальной позиции, и выявить выигрышные и проигрышные позиции, отталкиваясь от заданных условий.

Анализ игры

1. Начальная позиция: фишка находится в точке (-1, -2). Расстояние до начала координат можно вычислить как ( \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 ).

2. Условие окончания игры: игра заканчивается, когда расстояние от фишки до начала координат превышает 6.

3. Возможные ходы:

   • Из точки (A, B) в (A-2, B-3)
   • Из точки (A, B) в (A+2, B+2)
   • Из точки (A, B) в (A+1, B+4)

Построение стратегии

Чтобы определить, кто выигрывает, можно построить дерево игры, где каждая вершина — это позиция фишки, а ребра — возможные ходы.

1. Вычисление расстояний для возможных ходов из начальной позиции (-1, -2):

• Ход в (-1-2, -2-3) = (-3, -5): расстояние = ( \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{34} \approx 5.83 )
• Ход в (-1+2, -2+2) = (1, 0): расстояние = ( \sqrt{(1)^2 + (0)^2} = 1 )
• Ход в (-1+1, -2+4) = (0, 2): расстояние = ( \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = \sqrt{4} = 2 )

2. Анализ возможных позиций:

• (-3, -5): Следующий ход может привести в позиции:

  • (-3-2, -5-3) = (-5, -8): расстояние = ( \sqrt{(-5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{89} \approx 9.43 ) (игра заканчивается)
  • (-3+2, -5+2) = (-1, -3): расстояние = ( \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3.16 )
  • (-3+1, -5+4) = (-2, -1): расстояние = ( \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 )

• (1, 0): Следующие ходы:

  • (1-2, 0-3) = (-1, -3): расстояние = ( \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3.16 )
  • (1+2, 0+2) = (3, 2): расстояние = ( \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{13} \approx 3.61 )
  • (1+1, 0+4) = (2, 4): расстояние = ( \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{20} \approx 4.47 )

• (0, 2): Следующие ходы:

  • (0-2, 2-3) = (-2, -1): расстояние = ( \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 )
  • (0+2, 2+2) = (2, 4): расстояние = ( \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{20} \approx 4.47 )
  • (0+1, 2+4) = (1, 6): расстояние = ( \sqrt{(1)^2 + (6)^2} = \sqrt{37} \approx 6.08 ) (игра заканчивается)

3. Определение выигрышных и проигрышных позиций

• Позиции, которые при любом ходе приводят к окончанию игры в пользу ходящего, являются выигрышными.
• Позиции, из которых все возможные ходы ведут к выигрышной позиции для противника, являются проигрышными.

Анализируя дерево игры, видно, что из точки (0, 2) можно сразу сделать ход в (1, 6), что завершает игру победой первого игрока. Таким образом, первым ходом, который гарантирует победу, является перемещение из (-1, -2) в (0, 2).

Вывод

При безошибочной игре обоих игроков выигрывает игрок, делающий первый ход. Для победы первым ходом ему следует переместить фишку в точку (0, 2).

Для решения данной задачи построим таблицу игры.

Пусть игрок, делающий первый ход, будет игрок 1, а игрок, делающий второй ход, будет игрок 2.

В таблице будем отмечать, кто выигрывает при различных расположениях фишки на координатной плоскости. При этом "1" будет означать, что выигрывает игрок 1, а "2" - что выигрывает игрок 2.

Начнем заполнять таблицу:

(-1, -2) - 1

(-3, -5) - 2 (-1, 2) - 1 (1, 6) - 2

(1, 6) - 2 (3, 10) - 1 (5, 14) - 2 (7, 18) - 1

Из таблицы видно, что при правильной игре оба игрока могут довести фишку до победного положения. Однако, если игрок 1 делает первый ход и играет оптимально, он выигрывает.

Таким образом, выигрывает игрок 1, делающий первый ход. Первый ход выигрывающего игрока должен быть из точки (-1, -2) в точку (-3, -5), чтобы обеспечить свою победу.