Каждое из логических выражений A и B зависит от одного и
того же набора из 5 переменных. В таблицах истинности обоих
выражений в столбцах значений стоит ровно по 17 единиц в каждой
таблице. Каково максимально возможное число единиц в столбце
значений таблицы истинности выражения ¬(A∧B)?
Для выражения ¬(A∧B) максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности будет равно 31.
Для этого мы можем представить следующую таблицу истинности для выражений A и B:
| A | B | A∧B | ¬(A∧B) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Из условия задачи мы знаем, что в столбцах значений выражений A и B стоит ровно по 17 единиц. Таким образом, в столбце значений выражения A∧B будет стоять 17 единиц.
Для выражения ¬(A∧B) наибольшее количество единиц будет в том случае, если в столбце значений A∧B будут все нули, тогда в столбце значений ¬(A∧B) будет 31 единица (поскольку в данном случае 17 нулей будет стоять в столбце значений A∧B).
Для решения данного вопроса важно понимать, как операции логического И (AND) и отрицания (NOT) влияют на таблицы истинности.
Выражение ( A \wedge B ) (логическое И) истинно только тогда, когда оба выражения ( A ) и ( B ) истинны. Поскольку в каждой таблице истинности для ( A ) и ( B ) стоит ровно по 17 единиц, максимальное количество случаев, когда оба выражения могут быть истинными одновременно, находится в диапазоне от 0 до 17. Точное количество единиц в выражении ( A \wedge B ) зависит от того, насколько эти единицы "пересекаются" в таблицах истинности ( A ) и ( B ).
Чтобы найти максимальное количество единиц в результате операции ( \neg (A \wedge B) ) (отрицание результата логического И), нужно определить, при каких условиях минимизируется количество единиц в результате ( A \wedge B ). Чем меньше единиц в ( A \wedge B ), тем больше единиц будет в ( \neg (A \wedge B) ).
В идеальном случае, если единицы в таблицах ( A ) и ( B ) распределены так, что они не пересекаются ни в одном случае (т.е. все истинные значения ( A ) и ( B ) находятся в разных строках), то ( A \wedge B ) будет иметь 0 единиц. В этом случае ( \neg (A \wedge B) ) будет истинно во всех 32 случаях (поскольку всего 2^5 = 32 возможные комбинации значений переменных).
Итак, максимально возможное количество единиц в столбце значений таблицы истинности выражения ( \neg (A \wedge B) ) равно 32, что достигается тогда, когда нет пересечения истинных значений между ( A ) и ( B ).
