На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?
Наибольшая возможная длина отрезка A равна 20.
Для того чтобы формула была тождественно истинна, отрезок A должен полностью включать отрезок P и пересекаться с отрезком Q. Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка A будет равна длине отрезка Q, то есть 50 - 30 = 20. Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка A составляет 20 единиц.
Для решения этой задачи нужно разобраться с логическим выражением, данном в условии. Выражение имеет вид: [ (x \in A \rightarrow x \in Q) \vee (x \in P). ]
Переведем это выражение в более понятный вид. Импликация (x \in A \rightarrow x \in Q) означает, что если (x) принадлежит множеству (A), то (x) должен также принадлежать множеству (Q). В логическом выражении это можно представить как: [ \neg (x \in A) \vee (x \in Q). ]
Теперь учитывая дизъюнкцию с (x \in P), выражение примет вид: [ \neg (x \in A) \vee (x \in Q) \vee (x \in P). ]
Поскольку выражение должно быть тождественно истинным, мы можем интерпретировать это условие следующим образом: для каждого (x) на числовой прямой, либо (x) не принадлежит (A), либо (x) принадлежит (Q) или (P).
Для максимизации длины (A), мы хотим включить в (A) как можно больше точек. При этом, если (x \in A), то должно выполняться (x \in Q) (из импликации). Также, если (x \notin Q), то должно выполняться (x \in P) (из дизъюнкции).
Рассмотрим пересечение отрезков (P) и (Q): [ P = [10, 40], ] [ Q = [30, 50]. ] Их пересечение: [ P \cap Q = [30, 40]. ] Это означает, что любой (x) из этого пересечения может свободно принадлежать (A), так как он одновременно принадлежит и (P), и (Q).
Также можно добавить в (A) точки, которые принадлежат только (Q), но не (P), так как они удовлетворяют импликации (x \in A \rightarrow x \in Q). Это точки интервала от 40 до 50 (не включая 40).
Таким образом, наибольший возможный отрезок (A) будет: [ A = [30, 50]. ] Длина этого отрезка равна (50 - 30 = 20).
Итак, наибольшая возможная длина отрезка (A) составляет 20 единиц.
