На числовой прямой даны два отрезка: P = $10,40$ и Q = $30,50$. Отрезок A таков, что формула ( (x...

Наибольшая возможная длина отрезка A равна 20.

Для того чтобы формула была тождественно истинна, отрезок A должен полностью включать отрезок P и пересекаться с отрезком Q. Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка A будет равна длине отрезка Q, то есть 50 - 30 = 20. Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка A составляет 20 единиц.

Для решения этой задачи нужно разобраться с логическим выражением, данном в условии. Выражение имеет вид: $(x\in A\to x\in Q)\vee (x\in P).$

Переведем это выражение в более понятный вид. Импликация $x\in A\to x\in Q$ означает, что если $x$ принадлежит множеству $A$, то $x$ должен также принадлежать множеству $Q$. В логическом выражении это можно представить как: $\mathrm{\neg }(x\in A)\vee (x\in Q).$

Теперь учитывая дизъюнкцию с $x\in P$, выражение примет вид: $\mathrm{\neg }(x\in A)\vee (x\in Q)\vee (x\in P).$

Поскольку выражение должно быть тождественно истинным, мы можем интерпретировать это условие следующим образом: для каждого $x$ на числовой прямой, либо $x$ не принадлежит $A$, либо $x$ принадлежит $Q$ или $P$.

Для максимизации длины $A$, мы хотим включить в $A$ как можно больше точек. При этом, если $x\in A$, то должно выполняться $x\in Q$ $изимпликации$. Также, если $x\notin Q$, то должно выполняться $x\in P$ $издизъюнкции$.

Рассмотрим пересечение отрезков $P$ и $Q$: $P=[10,40$, ] $Q=[30,50$. ] Их пересечение: $P\cap Q=[30,40$. ] Это означает, что любой $x$ из этого пересечения может свободно принадлежать $A$, так как он одновременно принадлежит и $P$, и $Q$.

Также можно добавить в $A$ точки, которые принадлежат только $Q$, но не $P$, так как они удовлетворяют импликации $x\in A\to x\in Q$. Это точки интервала от 40 до 50 $невключая40$.

Таким образом, наибольший возможный отрезок $A$ будет: $A=[30,50$. ] Длина этого отрезка равна $50-30=20$.

Итак, наибольшая возможная длина отрезка $A$ составляет 20 единиц.