На числовой прямой даны два отрезка: P=[43,49] и Q=[44,53] Укажите наибольшую возможную длину отрезка...

Для решения задачи рассмотрим логическое выражение (((x \in A) \rightarrow (x \in P)) \vee (x \in Q)). Это выражение должно быть тождественно истинным, то есть принимать значение 1 при любом значении ( x ).

Разберёмся с каждой частью выражения:

1. ((x \in A) \rightarrow (x \in P)) означает, что если ( x ) принадлежит отрезку ( A ), то ( x ) обязательно должен принадлежать отрезку ( P ). Это условие выполнено, если ( A \subseteq P ).

2. ((x \in Q)) — это просто условие принадлежности ( x ) отрезку ( Q ).

Значение выражения (((x \in A) \rightarrow (x \in P)) \vee (x \in Q)) будет истинным в двух случаях:

• Если ( x \in A ) и ( x \in P ), то импликация ((x \in A) \rightarrow (x \in P)) истинна, независимо от того, принадлежит ли ( x ) отрезку ( Q ) или нет.
• Если ( x \in Q ), то выражение истинно независимо от значения ((x \in A) \rightarrow (x \in P)).

Из этого следует, что для всех ( x \in A ), выполнено одно из условий:

• ( x \in P )
• ( x \in Q )

Так как нам нужно найти наибольшую возможную длину отрезка ( A ), исследуем пересечение отрезков ( P ) и ( Q ).

Отрезок ( P = [43, 49] ) Отрезок ( Q = [44, 53] )

Пересечение этих отрезков ( P \cap Q = [44, 49] ). Это пересечение удовлетворяет первому условию, так как ( [44, 49] \subseteq P ), и все точки этого отрезка также принадлежат ( Q ).

Далее, чтобы максимизировать длину отрезка ( A ), рассмотрим дополнение пересечения ( P \cap Q ) и ( Q ), то есть точки, принадлежащие ( Q ), но не ( P ).

Для всех ( x \in [43, 53] ):

• Если ( x \in P ), то ( x ) точно выполняет условие ((x \in A) \rightarrow (x \in P)).
• Если ( x \in Q), то выражение истинно независимо от ( x \in P ).

Таким образом, отрезок ( A ) может включать всю область ( Q ), так как каждый элемент ( x \in Q ) делает выражение истинным. Поэтому максимальная длина отрезка ( A ) будет включать все элементы отрезка ( Q ).

Следовательно, наибольшая возможная длина отрезка ( A ) равна длине отрезка ( Q ): [ Q = [44, 53] ]

Длина отрезка ( A ) будет: [ 53 - 44 + 1 = 10 ]

Таким образом, наибольшая возможная длина отрезка ( A ) — 10 единиц.

Для того чтобы формула была тождественно истинна, необходимо, чтобы выполнялось одно из двух условий:

1. Все элементы множества А принадлежат отрезку P.
2. Хотя бы один элемент множества А принадлежит отрезку Q.

Так как отрезок P=[43,49], а отрезок Q=[44,53], то максимальная возможная длина отрезка A будет равна 10, так как при значении x=49 формула ((x€A) → (x€P)) V (x€Q) будет тождественно истинна.

Наибольшая возможная длина отрезка А равна 10.