Найдите наименьшее основание системы,в которой запись числа 35 оканчивается на 3 ?

Чтобы определить наименьшее основание системы счисления, в которой число 35 заканчивается на цифру 3, сначала нужно понять, что это означает. Если число 35 в некоторой системе счисления заканчивается на 3, это значит, что остаток от деления числа 35 на основание системы равен 3.

Обозначим основание системы счисления через ( b ). Тогда у нас есть следующее уравнение:

[ 35 \equiv 3 \pmod{b} ]

Это уравнение говорит нам, что остаток от деления 35 на ( b ) должен быть равен 3. Это можно переписать как:

[ 35 = k \cdot b + 3 ]

где ( k ) — некоторое целое число.

Отсюда следует, что ( 35 - 3 ) должно быть кратно ( b ):

[ 32 = k \cdot b ]

Таким образом, ( b ) должно быть делителем числа 32. Теперь нужно найти наименьшее возможное значение ( b ), большее 3 (поскольку основание системы счисления не может быть меньше или равно последней цифре). Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Из этих делителей, наименьшее число, большее 3, это 4.

Таким образом, наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 35 оканчивается на 3, равно 4. Проверим:

При ( b = 4 ):

[ 35 \div 4 = 8 \, \text{с остатком} \, 3 ]

Это подтверждает, что в системе счисления с основанием 4 число 35 действительно будет иметь запись, оканчивающуюся на 3.

Для того чтобы найти наименьшее основание системы, в которой запись числа 35 оканчивается на 3, нужно рассмотреть различные системы счисления и проверить их основания.

Пусть число 35 записано в системе с основанием ( n ) как ( 3n + 5 ). Чтобы число оканчивалось на 3, необходимо, чтобы ( 3n + 5 ) было кратно 10. Это означает, что ( 3n + 5 = 10k ) для некоторого целого числа ( k ).

Решая это уравнение, получаем:

[ 3n = 10k - 5 ] [ n = \frac{10k - 5}{3} ]

Таким образом, мы видим, что минимальное целое значение ( k ), при котором ( n ) будет целым числом, равно 2. Подставляя ( k = 2 ) в уравнение, получаем:

[ n = \frac{10*2 - 5}{3} = \frac{20 - 5}{3} = \frac{15}{3} = 5 ]

Таким образом, наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 35 оканчивается на 3, равно 5.