Найдите все основания систем счисления в которых запись числа 24, оканчивается на 3. только с объяснением
Найдите все основания систем счисления в которых запись числа 24, оканчивается на 3. только с объяснением
Для того чтобы найти все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3, нужно рассмотреть возможные значения последней цифры числа 24 в различных системах счисления.
Пусть число 24 в некоторой системе счисления записывается как $24_x$, где $x$ - основание этой системы. Так как число оканчивается на 3, то справедливо утверждение $24_x \equiv 3 \pmod{x}$. Это означает, что 24 и 3 имеют одинаковые остатки при делении на $x$.
Давайте рассмотрим возможные варианты:
В двоичной системе счисления: $24_2 = 12^4 + 12^3 + 02^2 + 02^1 = 16 + 8 = 24$. Число 24 в двоичной системе оканчивается на 0, а не на 3.
В троичной системе счисления: $24_3 = 23^2 + 13^1 = 18 + 3 = 21$. Число 21 в троичной системе оканчивается на 1, а не на 3.
В четверичной системе счисления: $24_4 = 14^2 + 24^1 = 16 + 8 = 24$. Число 24 в четверичной системе оканчивается на 2, а не на 3.
В пятеричной системе счисления: $24_5 = 4*5^1 = 20$. Число 20 в пятеричной системе оканчивается на 0, а не на 3.
Из приведенных примеров видно, что число 24 не может оканчиваться на 3 в нижеперечисленных системах счисления. Таким образом, нет таких оснований систем, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.
Для того чтобы найти все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3, нам нужно рассмотреть, при каких основаниях ( b ) число 24 в системе счисления с основанием ( b ) будет иметь последнюю цифру 3.
В системе счисления с основанием ( b ), число представляется в виде: [ 24 = qb + r ] где ( q ) — целая часть от деления числа 24 на основание ( b ), а ( r ) — остаток от деления, который является последней цифрой в этой системе счисления. Поскольку нас интересует, чтобы последняя цифра была равна 3, то ( r = 3 ).
Таким образом, у нас получается уравнение: [ 24 = qb + 3 ]
Из этого уравнения выведем выражение для ( q ): [ 24 - 3 = qb ] [ 21 = qb ] [ q = \frac{21}{b} ]
Для того чтобы ( q ) было целым числом, ( b ) должно быть делителем числа 21. Рассмотрим все делители 21: [ 21 = 1 \times 21 ] [ 21 = 3 \times 7 ]
Таким образом, делителями 21 являются 1, 3, 7, и 21. Однако, основание системы счисления должно быть больше, чем 3, чтобы 3 могла быть "цифрой" в этой системе. Поэтому исключаем основания 1 и 3, так как в этих случаях 3 не может быть цифрой.
Остаются основания 7 и 21. Проверим для каждого из них:
Основание ( b = 7 ): [ 24 = q \cdot 7 + 3 ] [ 24 = 3 \cdot 7 + 3 ] [ 24 = 21 + 3 ] [ 24 = 24 ] Всё верно, запись числа 24 в системе счисления с основанием 7 действительно оканчивается на 3 (33_7).
Основание ( b = 21 ): [ 24 = q \cdot 21 + 3 ] [ 24 = 1 \cdot 21 + 3 ] [ 24 = 21 + 3 ] [ 24 = 24 ] Это также верно, запись числа 24 в системе счисления с основанием 21 оканчивается на 3 (13_21).
Итак, основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3, это: [ b = 7 ] [ b = 21 ]
Для того чтобы найти все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3, нужно рассмотреть все возможные остатки от деления числа 24 на основание системы счисления.
24 в десятичной системе счисления записывается как 24 = 210^1 + 410^0. Поскольку число оканчивается на 3, значит остаток от деления 24 на основание системы счисления должен быть равен 3.
Таким образом, нужно решить уравнение 24 mod n = 3, где n - основание системы счисления. Решив это уравнение, мы найдем все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.
