Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 4. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 может встречаться ровно два раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?
Для решения данной задачи можно использовать комбинаторику. Поскольку цифра 1 может встречаться ровно два раза, то у нас есть два варианта: цифра 1 встречается два раза или цифра 1 встречается один раз.
Первый вариант: цифра 1 встречается два раза и остальные цифры могут быть любыми. Так как остальные цифры могут быть любыми, то у нас есть 3 варианта (2, 3, 4) для каждой из трех оставшихся позиций. Таким образом, общее количество вариантов шифра для этого случая равно 3 3 3 * 3 = 81.
Второй вариант: цифра 1 встречается один раз и остальные цифры могут быть любыми. Так как цифра 1 выбрана один раз, у нас остаются три позиции для других цифр. Для каждой из трех позиций у нас есть 3 варианта (2, 3, 4). Таким образом, общее количество вариантов шифра для этого случая равно 3 3 3 = 27.
Итак, общее количество различных вариантов шифра, удовлетворяющих условиям задачи, равно 81 + 27 = 108.
Для решения задачи необходимо определить количество различных последовательностей длиной 5 символов, где символы являются цифрами от 1 до 4, при условии, что цифра 1 встречается ровно два раза. Остальные цифры (2, 3, 4) могут встречаться любое количество раз, включая ноль.
Выбор позиций для цифры 1: Нам нужно выбрать 2 позиции из 5 для цифры 1. Количество способов выбрать 2 позиции из 5 определяется биномиальным коэффициентом: [ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 ] Таким образом, существует 10 способов распределить две единицы в последовательности из пяти символов.
Заполнение оставшихся позиций: После того как две позиции заняты цифрой 1, остаются три позиции, которые могут быть заполнены цифрами 2, 3 и 4. Каждая из этих позиций может быть заполнена любой из трёх цифр (2, 3 или 4).
Количество способов заполнения каждой из оставшихся трёх позиций равно 3 (поскольку у нас три варианта: 2, 3 и 4). Таким образом, общее количество способов заполнения трех позиций: [ 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 ]
Общее количество вариантов шифра: Чтобы найти общее количество вариантов шифра, нужно умножить количество способов выбора позиций для цифры 1 на количество способов заполнения оставшихся позиций: [ 10 \times 27 = 270 ]
Таким образом, существует 270 различных вариантов шифра, которые удовлетворяют заданным условиям.
