Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими...

Наименьшее натуральное число A равно 4.

Для того чтобы выражение ((x&68≠0)=>(x&36=0))=>(x&A=0) было тождественно истинно, необходимо чтобы при любом натуральном значении переменной X, если x & 68 ≠ 0, то x & 36 = 0, и если это условие выполняется, то x & A = 0.

Поскольку x & 68 ≠ 0 означает, что в двоичной записи числа x есть хотя бы один бит, который равен 1 в позиции, где 1 стоит и в числе 68 (1000100 в двоичном виде), то необходимо, чтобы этот бит также был равен 0 в позиции, где 1 стоит в числе 36 (100100 в двоичном виде). Поэтому A должно содержать 1 в позициях, где 1 стоит в 68 (1000100), но 0 в позициях, где 1 стоит в 36 (100100).

Таким образом, наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее условию, будет 1000100 (68 в десятичном представлении).

Чтобы найти наименьшее натуральное число ( A ), такое что выражение

[ ((x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0)) \Rightarrow (x \& A = 0) ]

тождественно истинно при любом натуральном значении переменной ( x ), разберёмся с выражением по частям.

Шаг 1: Анализ выражения ( (x \& 68 \neq 0) )

Выражение ( x \& 68 \neq 0 ) означает, что хотя бы один из битов числа ( x ), который совпадает с битами числа 68, должен быть равен 1. В двоичной системе счисления число 68 записывается как:

[ 68_{10} = 1000100_2 ]

Таким образом, ( x \& 68 \neq 0 ) означает, что хотя бы один из битов на позициях 6 или 2 (считая с нуля) равен 1.

Шаг 2: Анализ выражения ( (x \& 36 = 0) )

Выражение ( x \& 36 = 0 ) означает, что все биты числа ( x ), которые совпадают с битами числа 36, равны 0. В двоичной системе счисления число 36 записывается как:

[ 36_{10} = 100100_2 ]

Таким образом, ( x \& 36 = 0 ) означает, что биты на позициях 5 и 2 (считая с нуля) равны 0.

Шаг 3: Объединение выражений с импликацией

Теперь объединим эти выражения с импликацией:

[ (x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0) ]

Эта импликация означает, что если хотя бы один бит на позициях 6 или 2 равен 1, то биты на позициях 5 и 2 должны быть равны 0.

Шаг 4: Разбор полной импликации

Теперь рассмотрим полное выражение:

[ ((x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0)) \Rightarrow (x \& A = 0) ]

Эта импликация должна быть истинной для любого значения ( x ). Для этого выражение ( x \& A = 0 ) должно быть истинным, когда импликация ( (x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0) ) истинна.

Шаг 5: Определение наименьшего значения ( A )

Чтобы ( (x \& A = 0) ) было истинным для всех ( x ), когда импликация ( (x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0) ) истинна, необходимо, чтобы ( A ) "перекрывал" те биты, которые могут нарушить эту импликацию.

1. Если ( x \& 68 = 0 ), то ( (x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0) ) истинно независимо от ( x ).
2. Если ( x \& 68 \neq 0 ), то ( x \& 36 = 0 ) должно быть истинно, чтобы импликация была истинной.

Чтобы ( x \& A = 0 ) было всегда истинно, ( A ) должен перекрывать биты, которые могут быть равны 1 и нарушить импликацию. Это означает, что ( A ) должен включать биты на позициях 5 и 2 (битовые позиции числа 36).

Итог

Наименьшее значение ( A ), которое удовлетворяет условию, будет:

[ A = 36 ]

Проверим это:

• ( x \& 68 = 1000100 )
• ( x \& 36 = 100100 )

Для ( A = 36 ), ( x \& 36 = 0 ) всегда истинно, когда ( (x \& 68 \neq 0) \Rightarrow (x \& 36 = 0) ) истинно.

Таким образом, наименьшее натуральное число ( A ), при котором выражение тождественно истинно, равно 36.