ЗАДАЧА_1 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 85 записывается в виде "151" Укажите это основание. ЗАДАЧА_2 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 53 оканчивается на 3.
ЗАДАЧА_1 Основание системы счисления - 6.
ЗАДАЧА_2 3, 13, 23, 33, 43, 53.
Для решения обеих задач необходимо понимание основ систем счисления и их преобразований.
Определение основания системы счисления, в которой десятичное число 85 записывается как "151".
В общем виде, число (151_b) в системе счисления с основанием (b) можно разложить следующим образом: [ 1 \cdot b^2 + 5 \cdot b^1 + 1 \cdot b^0 ]
Это должно быть равно десятичному числу 85: [ 1 \cdot b^2 + 5 \cdot b + 1 = 85 ]
Составим уравнение: [ b^2 + 5b + 1 = 85 ]
Приведем уравнение к стандартному виду: [ b^2 + 5b + 1 - 85 = 0 ] [ b^2 + 5b - 84 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ b = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2 \cdot 1} ] [ b = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 336}}{2} ] [ b = \frac{-5 \pm \sqrt{361}}{2} ] [ b = \frac{-5 \pm 19}{2} ]
Получаем два корня: [ b = \frac{14}{2} = 7 ] [ b = \frac{-24}{2} = -12 ]
Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным или нулевым, оставляем только положительное значение: [ b = 7 ]
Таким образом, основание системы счисления, в которой число 85 записывается как "151", равно 7.
Определение всех оснований систем счисления, в которых десятичное число 53 оканчивается на 3.
Пусть (b) — основание системы счисления. Число 53 в этой системе будет записываться в виде (x3_b), где (x) — некоторое целое число.
В общем виде: [ x \cdot b + 3 = 53 ]
Отсюда: [ x \cdot b = 50 ] [ b = \frac{50}{x} ]
Поскольку (b) должно быть целым числом, (x) должен быть делителем числа 50. Рассмотрим все делители числа 50: [ 1, 2, 5, 10, 25, 50 ]
Теперь подставим каждый делитель (x) для получения основания (b):
Записи числа 53 в этих системах будут:
Таким образом, подходящие основания систем счисления, в которых запись числа 53 оканчивается на 3, это: [ 1, 2, 5, 10, 25, 50 ]
Итак, основания: (1, 2, 5, 10, 25, 50).
ЗАДАЧА_1: Для того чтобы найти основание системы счисления, в которой число 85 записывается как "151", нужно преобразовать число 85 из десятичной системы в данную систему с неизвестным основанием. При этом число 85 представляется в виде:
85 = 1 основание^2 + 5 основание^1 + 1 * основание^0
Из условия задачи известно, что 85 в данной системе записывается как "151". Это означает, что число 85 в данной системе представляется как 1 основание^2 + 5 основание^1 + 1 основание^0, то есть 1 основание^2 + 5 * основание + 1 = 85. Решив это уравнение, мы найдем основание системы счисления.
1 основание^2 + 5 основание + 1 = 85 основание^2 + 5 основание + 1 = 85 основание^2 + 5 основание - 84 = 0 (основание - 7)(основание + 12) = 0
Из этого получаем, что основание системы счисления равно 7.
ЗАДАЧА_2: Чтобы найти все основания систем счисления, в которых число 53 оканчивается на 3, нужно рассмотреть все числа, оканчивающиеся на 3 и проверить, являются ли они основаниями систем счисления, в которых 53 записывается без остатка.
Из условия задачи известно, что число 53 в данной системе оканчивается на 3. Это означает, что число 53 представляется в виде:
53 = a * основание + 3
Где a - целое число. Решив это уравнение для различных оснований, мы найдем все основания систем счисления, в которых число 53 оканчивается на 3.
Проверим для основания 10: 53 = a * 10 + 3 a = 5.3
Основание 10 не подходит, так как a должно быть целым числом.
Проверим для основания 5: 53 = a * 5 + 3 a = 10
Основание 5 подходит, так как в системе с основанием 5 число 53 можно записать как 103.
Таким образом, единственным основанием системы счисления, в которой запись десятичного числа 53 оканчивается на 3, является 5.
