ЗАДАЧА_1 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 85 записывается в виде "151" Укажите...

ЗАДАЧА_1 Основание системы счисления - 6.

ЗАДАЧА_2 3, 13, 23, 33, 43, 53.

Для решения обеих задач необходимо понимание основ систем счисления и их преобразований.

ЗАДАЧА 1

Определение основания системы счисления, в которой десятичное число 85 записывается как "151".

В общем виде, число ${151}_b$ в системе счисления с основанием $b$ можно разложить следующим образом: $1\cdot b^2+5\cdot b^1+1\cdot b^0$

Это должно быть равно десятичному числу 85: $1\cdot b^2+5\cdot b+1=85$

Составим уравнение: $b^2+5b+1=85$

Приведем уравнение к стандартному виду: $b^2+5b+1-85=0$ $b^2+5b-84=0$

Решим квадратное уравнение: $b=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot (-84)}}{2\cdot 1}$ $b=\frac{-5\pm \sqrt{25+336}}{2}$ $b=\frac{-5\pm \sqrt{361}}{2}$ $b=\frac{-5\pm 19}{2}$

Получаем два корня: $b=\frac{14}{2}=7$ $b=\frac{-24}{2}=-12$

Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным или нулевым, оставляем только положительное значение: $b=7$

Таким образом, основание системы счисления, в которой число 85 записывается как "151", равно 7.

ЗАДАЧА 2

Определение всех оснований систем счисления, в которых десятичное число 53 оканчивается на 3.

Пусть $b$ — основание системы счисления. Число 53 в этой системе будет записываться в виде $x{3}_b$, где $x$ — некоторое целое число.

В общем виде: $x\cdot b+3=53$

Отсюда: $x\cdot b=50$ $b=\frac{50}{x}$

Поскольку $b$ должно быть целым числом, $x$ должен быть делителем числа 50. Рассмотрим все делители числа 50: $1,2,5,10,25,50$

Теперь подставим каждый делитель $x$ для получения основания $b$:

• $x=1$: $b=\frac{50}{1}=50$
• $x=2$: $b=\frac{50}{2}=25$
• $x=5$: $b=\frac{50}{5}=10$
• $x=10$: $b=\frac{50}{10}=5$
• $x=25$: $b=\frac{50}{25}=2$
• $x=50$: $b=\frac{50}{50}=1$

Записи числа 53 в этих системах будут:

• $50$: ${13}_{50}$
• $25$: ${23}_{25}$
• $10$: ${53}_{10}$
• $5$: ${203}_5$
• $2$: ${110101}_2$ $неоканчиваетсяна3,неподходит$
• $1$: ${53}_1$ $неявляетсясистемойсчисления,неподходит$

Таким образом, подходящие основания систем счисления, в которых запись числа 53 оканчивается на 3, это: $1,2,5,10,25,50$

Итак, основания: $1,2,5,10,25,50$.

ЗАДАЧА_1: Для того чтобы найти основание системы счисления, в которой число 85 записывается как "151", нужно преобразовать число 85 из десятичной системы в данную систему с неизвестным основанием. При этом число 85 представляется в виде:

85 = 1 основание^2 + 5 основание^1 + 1 * основание^0

Из условия задачи известно, что 85 в данной системе записывается как "151". Это означает, что число 85 в данной системе представляется как 1 основание^2 + 5 основание^1 + 1 основание^0, то есть 1 основание^2 + 5 * основание + 1 = 85. Решив это уравнение, мы найдем основание системы счисления.

1 основание^2 + 5 основание + 1 = 85 основание^2 + 5 основание + 1 = 85 основание^2 + 5 основание - 84 = 0 $основание-7$$основание+12$ = 0

Из этого получаем, что основание системы счисления равно 7.

ЗАДАЧА_2: Чтобы найти все основания систем счисления, в которых число 53 оканчивается на 3, нужно рассмотреть все числа, оканчивающиеся на 3 и проверить, являются ли они основаниями систем счисления, в которых 53 записывается без остатка.

Из условия задачи известно, что число 53 в данной системе оканчивается на 3. Это означает, что число 53 представляется в виде:

53 = a * основание + 3

Где a - целое число. Решив это уравнение для различных оснований, мы найдем все основания систем счисления, в которых число 53 оканчивается на 3.

Проверим для основания 10: 53 = a * 10 + 3 a = 5.3

Основание 10 не подходит, так как a должно быть целым числом.

Проверим для основания 5: 53 = a * 5 + 3 a = 10

Основание 5 подходит, так как в системе с основанием 5 число 53 можно записать как 103.

Таким образом, единственным основанием системы счисления, в которой запись десятичного числа 53 оканчивается на 3, является 5.