Задумайте любое трехзначное число, не превышающее 300. Запишите шестизначное число,в записи которого...

Пусть наше трехзначное число равно (abc), где (a), (b), (c) - цифры числа. Тогда шестизначное число, в котором дважды повторено исходное число, будет равно (abcabc). Разделим это шестизначное число на 13:

(abcabc\div 13 = 1000a + 100b + 10c)

Теперь разделим полученное число на 11:

(1000a + 100b + 10c \div 11 = 100a + 10b + c)

И, наконец, разделим полученное число на 7:

(100a + 10b + c \div 7 = 10a + b)

Мы видим, что результат деления последнего числа на 7 равен нашему исходному трехзначному числу (abc). Это происходит из-за того, что мы исходное число повторяем дважды при записи шестизначного числа ((abcabc)) и затем последовательно делим на 13, 11 и 7, что позволяет нам получить исходное число в итоге.

Давайте разберем этот вопрос шаг за шагом, чтобы понять, почему результат деления в конечном итоге приводит нас обратно к исходному числу.

1. Задумайте трехзначное число. Пусть это будет число ( ABC ), где ( A, B, C ) — это цифры числа.

2. Запишите шестизначное число, в записи которого дважды повторено исходное число. Это число будет иметь вид ( ABCABC ).

3. Предположим, что исходное число ( ABC ) представлено как ( N ). Тогда шестизначное число ( ABCABC ) можно записать как ( 1000 \times N + N ). В математическом виде это выглядит как: [ 1000N + N = 1001N ]

4. Разделите полученное шестизначное число на 13. В этом случае мы делим ( 1001N ) на 13: [ \frac{1001N}{13} = N \times \frac{1001}{13} ] Зная, что ( 1001 = 13 \times 77 ), мы получаем: [ \frac{1001}{13} = 77 ] Таким образом: [ \frac{1001N}{13} = 77N ]

5. Разделите результат на 11. Теперь у нас есть ( 77N ), и мы делим его на 11: [ \frac{77N}{11} = N \times \frac{77}{11} ] Поскольку ( 77 = 11 \times 7 ), мы получаем: [ \frac{77}{11} = 7 ] Таким образом: [ \frac{77N}{11} = 7N ]

6. Разделите результат на 7. В итоге у нас есть ( 7N ), и мы делим его на 7: [ \frac{7N}{7} = N ]

После всех этих делений мы возвращаемся к исходному числу ( N ).

Почему это работает?

Все дело в свойствах числа 1001. Оно является произведением трех простых чисел: 7, 11 и 13. То есть: [ 1001 = 7 \times 11 \times 13 ]

Когда мы записываем шестизначное число как ( ABCABC ), это число по сути представляет собой ( 1001 \times N ). Деление на 13, 11 и 7 последовательно устраняет каждый из этих множителей, оставляя нас с исходным числом ( N ).

Таким образом, операция деления на 13, затем на 11 и, наконец, на 7, в совокупности фактически является делением на ( 1001 ), что возвращает нас к исходному трехзначному числу.

Исходное число: 143 Шестизначное число: 143143 143143 / 13 = 11011 11011 / 11 = 1001 1001 / 7 = 143

Результат получается такой, потому что исходное число было повторено в шестизначном числе дважды, что позволяет получить исходное число при последовательном делении на 13, 11 и 7.