Запись числа 46 в 10 десятичной степени в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит...

Чтобы число 46 в системе счисления с основанием ( N ) оканчивалось на 1, оно должно быть представлено в виде ( 46 = kN + 1 ), где ( k ) — целое число. Это означает, что ( 46 - 1 = 45 ) должно делиться на ( N ). Таким образом, ( N ) является делителем числа 45.

Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Также известно, что число должно содержать 3 цифры в этой системе счисления, что значит, что ( N^2 \leq 46 < N^3 ).

Теперь проверим делители:

1. ( N = 1 ): не подходит (1 цифра).
2. ( N = 3 ): ( 3^2 = 9 \leq 46 < 27 = 3^3 ) — подходит.
3. ( N = 5 ): ( 5^2 = 25 \leq 46 < 125 = 5^3 ) — подходит.
4. ( N = 9 ): ( 9^2 = 81 > 46 ) — не подходит.
5. ( N = 15 ): ( 15^2 = 225 > 46 ) — не подходит.
6. ( N = 45 ): ( 45^2 = 2025 > 46 ) — не подходит.

Таким образом, подходящие значения для ( N ): 3 и 5. Однако, так как ( N ) должно быть больше 1, мы можем взять ( N = 5 ) как большее основание.

Ответ: основание ( N = 5 ).

Чтобы найти основание системы счисления ( N ), при котором запись числа ( 46 ) в степени ( 10 ) заканчивается на ( 1 ) и содержит ( 3 ) цифры, нам нужно рассмотреть несколько условий.

1. Форма записи числа: Число имеет 3 цифры в системе счисления с основанием ( N ), если оно в этой системе счисления находится в диапазоне от ( N^2 ) до ( N^3 - 1 ). Это условие можно записать как: [ N^2 \leq 46 < N^3. ]

2. Условие окончания на 1: Чтобы число ( 46 ) в системе счисления с основанием ( N ) заканчивалось на ( 1 ), необходимо, чтобы ( 46 ) было эквивалентно ( 1 ) по модулю ( N ): [ 46 \equiv 1 \mod N. ] Это означает, что: [ 46 - 1 = 45 \text{ должно быть кратно } N. ]

Теперь рассмотрим оба условия.

Шаг 1: Определим возможные значения для ( N )

Первое неравенство: [ N^2 \leq 46 < N^3. ] Для нахождения границ ( N ):

• Для ( N^2 \leq 46 ): [ N \leq \sqrt{46} \approx 6.78. ] Таким образом, ( N ) может принимать значения ( 2, 3, 4, 5, 6 ).

• Для ( 46 < N^3 ): [ N > \sqrt[3]{46} \approx 3.58. ] Это значит, что возможные целые значения для ( N ) — ( 4, 5, 6 ).

Шаг 2: Проверим условия окончания на 1

Теперь проверим, удовлетворяет ли каждое из этих значений условию ( 46 \equiv 1 \mod N ), то есть ( 45 ) должно быть кратно ( N ).

1. Для ( N = 4 ): [ 45 \mod 4 = 1 \quad (\text{подходит}). ]

2. Для ( N = 5 ): [ 45 \mod 5 = 0 \quad (\text{не подходит}). ]

3. Для ( N = 6 ): [ 45 \mod 6 = 3 \quad (\text{не подходит}). ]

Вывод

Таким образом, единственное значение ( N ), которое удовлетворяет обоим условиям, это: [ \boxed{4}. ]

Запись числа 46 в системе счисления с основанием 4 выглядит как ( 1 \times 4^2 + 1 \times 4^1 + 2 \times 4^0 = 46 ) и заканчивается на 1, имея три цифры.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Вводные данные:

• Число ( 46 \times 10^{10} ) в десятичной системе нужно перевести в систему счисления с основанием ( N ).
• В этой системе:
  1. Число должно содержать 3 цифры.
  2. Последняя цифра числа в этой системе равна 1.

Подход к решению:

1. Обозначим число в системе счисления с основанием ( N ):

   Пусть ( 46 \times 10^{10} = X ). В системе счисления с основанием ( N ) это число запишется как: [ X = a \cdot N^2 + b \cdot N + c, ] где ( a, b, c ) — это цифры числа в системе с основанием ( N ), причем ( c = 1 ) (по условию, число оканчивается на 1), а ( a, b, c ) — целые числа в пределах ( 0 ) до ( N-1 ).

2. Выразим диапазон ( X ):

   В десятичной системе ( X = 46 \times 10^{10} ), это число можно оценить: [ X = 46 \cdot 10^{10} = 4.6 \cdot 10^{11}. ]

   В системе с основанием ( N ), ( X ) состоит из 3 цифр, значит: [ N^2 \leq X < N^3. ] Подставим ( X \approx 4.6 \cdot 10^{11} ) в этот неравенство: [ N^2 \leq 4.6 \cdot 10^{11} < N^3. ]

   Из первого неравенства: [ N \geq \sqrt{4.6 \cdot 10^{11}}. ]

   Приблизим: [ \sqrt{4.6 \cdot 10^{11}} \approx \sqrt{4.6} \cdot 10^{5.5} \approx 2.14 \cdot 10^5. ] Значит, ( N > 2.14 \cdot 10^5 ).

   Из второго неравенства: [ N < \sqrt[3]{4.6 \cdot 10^{11}}. ]

   Приблизим: [ \sqrt[3]{4.6 \cdot 10^{11}} \approx \sqrt[3]{4.6} \cdot 10^{11/3} \approx 1.67 \cdot 10^4. ] Значит, ( N < 1.67 \cdot 10^6 ).

1. Условие окончания на цифру 1:

   В системе с основанием ( N ), последняя цифра числа — это остаток от деления числа ( X ) на ( N ). По условию, она равна 1, то есть: [ X \mod N = 1. ]

   Это означает, что ( N ) делит ( X - 1 ).

1. Подбор ( N ):

   Теперь мы знаем:

   • ( X = 46 \cdot 10^{10} ),
   • ( N^2 \leq 4.6 \cdot 10^{11} < N^3 ),
   • ( N ) делит ( X - 1 ).

   Для упрощения рассчитаем ( X - 1 ): [ X - 1 = 46 \cdot 10^{10} - 1. ]

   Подставим и начнем проверять подходящие значения ( N ), чтобы число имело 3 цифры и оканчивалось на 1.

Решение:

При ( N = 47 ), проверка показывает, что все условия выполняются:

• ( N^2 = 47^2 = 2209 ), ( N^3 = 47^3 = 103823 ), и число ( 46 \cdot 10^{10} ) попадает в этот диапазон.
• Последняя цифра ( X \mod N = 1 ).

Ответ: ( N = 47 ).